《程序员的数学》· 第 2 章
逻辑
真与假的二元世界
6–8 年级互动课堂 · 90 分钟 · 边学边练
TRUE 真
FALSE 假
ARCADE
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课前热身 · 30 秒思考
同样一个「或者」，意思一样吗？
句子 A · 妈妈说
「今晚吃米饭或者面条。」
这里的意思是……
二选一 —— 只能挑一样，不能两样都要
句子 B · 老师说
「会钢琴或者吉他的同学可以报名。」
这里的意思是……
至少会一样 —— 两样都会当然也能报名
💡 中文一句话能有两种意思，可计算机只认一种 —— 这就是我们今天要学的逻辑。
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90 分钟学习地图
今天要闯的 5 关
01
为什么学逻辑
命题 · 真与假
约 10 分钟
02
规则里的漏洞
完整性 · 排他性
约 15 分钟
03
五大逻辑运算
非 与 或 异或 蕴涵
约 28 分钟
04
化简神器
德摩根 · 卡诺图
约 22 分钟
05
三值逻辑
真 · 假 · 未定义
约 15 分钟
🎮 每一关都是：学一个知识点 → 做一道练习题 → 当场对答案
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01
STATION 01 / 05
为什么需要逻辑
逻辑是消除歧义的放大镜 —— 命题、真与假
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STATION 01 · 核心概念
逻辑，是给语言「消歧」的工具
🗣 自然语言
模糊、有歧义、要靠语境猜
「他长得挺高的」—— 多高算高？
⚙️ 逻辑语言
只有两个值：true 或 false
没有「大概」「也许」「差不多」
🎯 一句话总结
把会让人误解的话，改写成不会误解的话。
试试判断：下面哪些话能说清对错？
① 今天的作业真多啊。—— 说不清 ❌
② 2 + 3 = 5　—— 真 ✅
③ 2 + 3 = 6　—— 假 ✅
④ 请把窗户关上。—— 是命令，不是对错 ❌
能明确判断「真 / 假」的句子，才叫命题。
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练习 01 ⏱ 3 分钟 · 和同桌讨论
歧义大搜查：这 4 句话哪里没说清？
1
「明天早上 8 点，在门口集合。」
哪里没说清楚？
2
「身高 120cm 以上的同学买全票。」
正好 120cm 的同学呢？
3
「成绩好的同学可以参加比赛。」
多少分算「好」？
4
「他要么去北京，要么去上海。」
两个地方都能去吗？
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练习 01 · 答案
揭晓：每一句都藏着一个「坑」
1
「明天早上 8 点，在门口集合。」
→ 哪个门口？校门 / 教室门 / 食堂门？没指定地点
2
「身高 120cm 以上买全票。」
→「以上」包不包括 120cm？边界值没说清
3
「成绩好的同学可以参加。」
→「好」没有数字标准。应改成「90 分以上」
4
「他要么去北京，要么去上海。」
→「要么…要么…」是两个只能选一个，还是至少选一个？两种读法
✅ 记住：写规则时，凡是边界和范围，都要写成数字。
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STATION 01 · 关键定义
命题 = 能判断真假的陈述句
✅ 是命题（有唯一真假）
· 2 + 3 = 5　→ 真 true
· 2 + 3 = 6　→ 假 false
· 所有偶数都能被 2 整除 → 真
· 北京是中国的首都 → 真
注意：假命题也是命题！只要能判断就行。
❌ 不是命题
· 今天的作业真多啊！
→ 感叹句，是主观感受
· 请把门关上。
→ 命令句，没有真假
· x + 1 = 5
→ x 不确定，真假跟着变
· 你今天开心吗？
→ 疑问句，不是陈述
📌 判定的唯一标准：这句话能不能明确回答「对」还是「错」？
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02
STATION 02 / 05
规则里的漏洞
完整性 · 排他性 · 边界值 —— 别让「正好 6 岁」溜走
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STATION 02 · 情境题
巴士车费：规则 A
🚌 某市巴士收费标准
· 乘客年龄 6 岁以上　→ 车费 100 元
· 乘客年龄 不到 6 岁　→ 车费 0 元
数轴上看一看
6 岁
0 岁
年龄 →
实心点 ● 表示「包含 6 岁」：6 岁及以上都买 100 元票。
🤔 想一想
张明今年正好 6 岁，他该付多少钱？
100 元 ✓
「6 岁以上」包含 6，「不到 6 岁」不包含 6 —— 两个区间刚好拼起来，不多也不少。
这就是一条合格的规则。下面两条呢？
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想一想 ①
规则 B：有没有「谁都没管到」的人？
🚌 规则 B
· 年龄 大于 6 岁　→ 100 元
· 年龄 不到 6 岁　→ 0 元
数轴上看一看
6 岁
0 岁
两个空心圈中间，是不是空了一块？
把所有人分成三类检查
① 7 岁以上　→ 命中第一条 ✅
② 5 岁以下　→ 命中第二条 ✅
③ 正好 6 岁　→ ???
6 岁「不大于 6」，也「不小于 6」—— 两条都进不去。
售票机这时候会怎样？→ 卡住、报错，或者随便给个结果。
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答案 ①
漏洞一：正好 6 岁被「漏掉」了
❌ 遗漏（不完整）
规则覆盖不到的情况，叫做 遗漏。
6
数轴上两个空心圈之间，6 这个点没人负责。
👉 程序员的黑话：这叫 bug。
✅ 怎么修？
把「大于 6 岁」改成 「6 岁及以上」
· 6 岁及以上　→ 100 元
· 不到 6 岁　　→ 0 元
一个字的差别（大于 → 及以上），决定了这台机器会不会出错。
🔑 完整性：所有可能的情况，都至少命中一条规则。
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想一想 ②
规则 C：有没有人被「算了两次」？
🚌 规则 C
· 年龄 6 岁以上　→ 100 元
· 年龄 6 岁以下　→ 0 元
数轴上看一看
6 岁
两个实心点叠在同一个位置 —— 打架了！
还是检查这三类人
① 7 岁以上　→ 只命中第一条 ✅
② 5 岁以下　→ 只命中第二条 ✅
③ 正好 6 岁　→ 两条都成立！
第一条说 100 元，第二条说 0 元 —— 系统该听谁的？
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答案 ②
漏洞二：6 岁被算了两次，还给出两个价
❌ 重复（不排他）
一个人同时命中两条规则，叫做 重复。
更麻烦的是：两条规则给出的结果还不一样（100 元 vs 0 元），程序就不知道该执行哪一句了。
现实中：售票机可能死机，或者随机吐出一张票。
✅ 怎么修？
把第二条改成 「不到 6 岁」
· 6 岁及以上　→ 100 元　（含 6，实心点）
· 不到 6 岁　　→ 0 元　　（不含 6，空心圈）
一实一空，严丝合缝，谁也不抢谁。
🔑 排他性：任何一种情况，最多只能命中一条规则。
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STATION 02 · 工具
画一根数轴，漏洞立刻现形
边界值（临界点）是事故高发区 —— 每次写规则，先把边界值圈出来单独检查。
x > 6　（大于 6）
6
空心圈 ○ = 不包含这个点
x ≥ 6　（6 及以上）
6
实心点 ● = 包含这个点
x < 6　（不到 6）
6
小于号也是空心圈
记忆口诀：带等号（≥ ≤）用实心点，不带等号（> <）用空心圈。
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练习 02 ⏱ 4 分钟
游乐场身高票：哪条规则有漏洞？
规则 ①
身高 120cm 以上 → 全票　｜　身高 不到 120cm → 半票
规则 ②
身高 超过 120cm → 全票　｜　身高 120cm 以下 → 半票
规则 ③
身高 120cm 以上 → 全票　｜　身高 120cm 以下 → 半票
任务：分别判断「有没有遗漏」和「有没有重复」，并在数轴上画出来。
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练习 02 · 答案
正好 120cm 的那位同学，是关键人物
规则 ①：120 以上 / 不到 120
120
✅ 完整且排他 —— 完美！
规则 ②：超过 120 / 120 以下
120
❌ 遗漏 —— 正好 120cm 没人管
规则 ③：120 以上 / 120 以下
120
❌ 重复 —— 正好 120cm 被算两次
🎯 秘密只有两个字：「以上」包不包含自己？写规则时一定要写死。
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STATION 02 · 总结
两条铁律：完整性 + 排他性
🔒 完整性　Completeness
「没有遗漏」—— 所有情况至少命中一条
漏了会怎样？系统不知道该干什么 → 卡死
🎯 排他性　Exclusiveness
「没有重复」—— 每种情况最多命中一条
重了会怎样？两个答案打架 → 结果不确定
两条都满足 = 「一分为二」
A
¬A
全集
整个矩形被切成两半：不重、不漏。
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STATION 02 · 落到代码
if 语句：天然把世界切成两半
💻 车费问题的代码写法
if ( 年龄 >= 6 ) {
车费 = 100;
} else {
车费 = 0;
}
条件为真 → 走 if；条件为假 → 走 else。真假合起来就是全部，所以自动满足完整 + 排他。
🧩 大问题 → 两个小问题
原来：「车费怎么算？」（很大、很乱）
拆成：
① 年龄 ≥ 6 吗？（只有是 / 否两种答案）
② 是 → 100 元；否 → 0 元
这就是「分而治之」：
把一个大问题分成两个更小、更简单的问题。
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练习 03 ⏱ 5 分钟 · 小组合作
你来写：校门口闸机的放行条件
🚪 场景
学校新装了刷脸闸机，需要你写判断规则。每个人只有这几种情况：
· 身份：本校学生 / 外校人员
· 时段：上学时段 / 非上学时段
· 是否佩戴校卡：是 / 否
请写出一条规则，让每个人恰好落到一种处理里：放行 / 登记 / 劝离
✍️ 你的答案（写下 if 结构）
提示：先想清楚「放行」的条件，剩下的一律走 else。
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练习 03 · 参考解
闸机规则：先定「放行」，其余交给 else
💻 一种合格写法
if (是本校学生 && 上学时段
&& 佩戴校卡) {
放行;
} else {
请到门卫处登记;
}
&& 就是「并且」—— 下一站会详细讲。
✅ 检查一下两条铁律
完整性：放行条件 + else 覆盖了所有人 ✓
排他性：条件成立走 if，不成立走 else，不可能同时走 ✓
进阶思考：如果想区分「外校人员」和「本校但没带校卡」，就要再拆一层 if —— 但每一层都要保证不重不漏。
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03
STATION 03 / 05
五大逻辑运算
非 · 与 · 或 · 异或 · 相等 · 蕴涵 —— 把命题拼起来
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STATION 03 · 读图工具
文氏图：一眼看懂命题的范围
A
B
全集
矩形 = 全集（所有可能的情况）
🔵 一个圆 = 一个命题
圆里面：这个命题为真
圆外面：这个命题为假
🟡 涂色 = 结果为真
我们要判断的表达式，为真的部分就涂亮。
🟣 重叠区 = 同时为真
两个圆叠在一起的地方，就是 A 和 B 都为真。
📌 接下来每学一个运算，我们都会画真值表 + 文氏图，双管齐下。
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STATION 03 · 运算 ①
逻辑非 ¬A　（NOT：不是……）
📋 真值表
A¬A
真 true假 false
假 false真 true
🔁 双重否定 = 肯定
¬(¬A) = A
「不是『不下雨』」= 下雨。
文氏图：整个圆外面
A
黄色区域（圆外）= ¬A
🌧 生活例子
A = 「今天下雨」
¬A = 「今天不下雨」
💻 代码里怎么写
!A　（感叹号）
A 和 ¬A 加起来是全集，且互不重叠 —— 又是「一分为二」！
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练习 04 · ¬ 的真假 ⏱ 2 分钟
说出 ¬A 是「真」还是「假」
1
A = 「7 是质数」（这是真的）　→ ¬A 是？
2
A = 「1 米 = 100 厘米」　→ ¬A 是？
3
A = 「所有的鸟都会飞」（这是假的）　→ ¬A 是？
4
把「这次考试及格了」取反，用一句话说出来。
✋ 先自己想，再看下一页。
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练习 04 · 答案
对一对，你全对了吗？
1
A = 「7 是质数」（真）　→ ¬A = 假
¬A = 「7 不是质数」，这是错的
2
A = 「1 米 = 100 厘米」（真）　→ ¬A = 假
3
A = 「所有的鸟都会飞」（假，企鹅不会）　→ ¬A = 真
¬A = 「存在不会飞的鸟」，这是对的！注意「所有」取反变成「存在」
4
「这次考试及格了」取反 → 「这次考试没有及格」
注意：不是「这次考试不及格就完了」……取反只翻真假，不加情绪 😄
🔑 易错点：「所有」的否定是「至少有一个不」，不是「所有都不」。
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STATION 03 · 运算 ②
逻辑与 A ∧ B　（AND：……并且……）
📋 真值表
ABA ∧ B
真真真 ✓
真假假
假真假
假假假
只有两个都真，结果才为真。
文氏图：两个圆的交集
A
B
只有中间重叠的那一块为真
🎒 校园例子
A = 「带了校卡」
B = 「穿了校服」
A ∧ B = 两样都做到了
才能进校门
💻 代码
A && B
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练习 05 · ∧ ⏱ 3 分钟
判断 A ∧ B 的真假
1
A = 「今天星期一」（真）　B = 「今天有体育课」（真）　→ A ∧ B？
2
A = 「2 是偶数」（真）　B = 「2 大于 5」（假）　→ A ∧ B？
3
小明带了校卡，但没穿校服。他能进校门吗？（规则：带校卡 ∧ 穿校服）
4
密码规则：长度 ≥ 8 位 ∧ 含有数字 ∧ 含有字母。
「abcdefgh」能通过吗？为什么？
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练习 05 · 答案
∧ 的口诀：一假即假
1
真 ∧ 真 = 真
2
真 ∧ 假 = 假　只要有一个假，结果就是假
3
真 ∧ 假 = 假　→ 不能进校门
这就是 ∧ 的严格之处：缺一样都不行
4
不能通过
长度够（8 位 ✓）、有字母 ✓，但没有数字 ✗ → 三个条件必须同时满足
🔑 记住这句：「并且」很严格 —— 一个掉链子，全盘皆输。
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STATION 03 · 运算 ③
逻辑或 A ∨ B　（OR：……或者……）
📋 真值表
ABA ∨ B
真真真 ✓
真假真 ✓
假真真 ✓
假假假
只要有一个真，结果就为真。
只有两个都假，才是假。
文氏图：两个圆的并集
A
B
两个圆合起来的整片区域
🎫 回到开头的句子 B
A = 「会钢琴」
B = 「会吉他」
A ∨ B = 会其中一样就行
两样都会当然更行
这就是兼容的「或」—— 数学和程序里的「或」默认都是这个意思。
💻 代码
A || B
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练习 06 · ∨ ⏱ 3 分钟
「或者」的两副面孔：哪句是真的 ∨？
1
「今晚吃米饭或者面条。」—— 两样都端上桌，妈妈同意吗？
2
「会钢琴或者吉他的同学可以报名。」—— 两样都会能报名吗？
3
A = 「今天下雨」（真）　B = 「今天刮风」（真）　→ A ∨ B？
4
A = 「3 > 5」（假）　B = 「3 > 2」（真）　→ A ∨ B？
🤔 第 1、2 题的答案不一样 —— 这就是中文的坑。
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练习 06 · 答案
∨ 的口诀：一真即真
1
❌ 妈妈不同意 —— 这是「二选一」，不是逻辑或
它其实是下一页的「异或」！
2
✅ 能报名 —— 这才是逻辑或 ∨
3
真 ∨ 真 = 真
注意！很多人以为「真或真」是假，其实是真
4
假 ∨ 真 = 真
🔑 记住这句：「或者」很宽容 —— 有一个真就够了。
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STATION 03 · 运算 ④
异或 A ⊕ B　（XOR：只能选一个）
📋 真值表
ABA ⊕ B
真真假
真假真 ✓
假真真 ✓
假假假
两个不一样才为真；
一样（都真或都假）就是假。
文氏图：只留两边，挖掉中间
A
B
中间重叠部分被挖掉了
💡 楼梯双控开关
楼上、楼下各有一个开关，都能控制同一盏灯。
· 两个开关都朝上 → 灯灭
· 两个开关都朝下 → 灯灭
· 一个上一个下 → 灯亮
灯 = A ⊕ B
随便拨动任意一个开关，灯的状态一定翻转 —— 这就是异或的魔力。
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练习 07 · ⊕ ⏱ 3 分钟
走廊灯：动一个开关，灯会怎样？
🏫 场景
教学楼走廊有一盏灯，两端各有一个开关 A 和 B，规则是 灯 = A ⊕ B。
① A 朝上、B 朝上 → 灯是亮还是灭？
② A 朝上、B 朝下 → 灯是亮还是灭？
③ 现在灯是亮的。我只拨动开关 A，灯会怎样？
④ 现在灯是灭的。我同时拨动 A 和 B，灯会怎样？
开关 A
灯
开关 B
提示：「朝上」当作 真，「朝下」当作 假。
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STATION 03 · 运算 ⑤
相等 A = B　（异或的反面）
📋 真值表
ABA = B
真真真 ✓
真假假
假真假
假假真 ✓
两个一样就是真；不一样就是假。
A = B 就是 ¬(A ⊕ B)　—— 完全相反！
文氏图：两边挖掉，只留中间和外面
A
B
黄色 = A = B 为真的区域
🌟 两个特别的命题
恒真命题：不管 A、B 取什么，结果永远为真
A ∨ ¬A = 真
「今天要么下雨，要么不下雨」—— 一定对
恒假命题：永远为假
A ∧ ¬A = 假
「今天下雨并且不下雨」—— 一定错
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STATION 03 · 运算 ⑥
蕴涵 A ⇒ B　（若 A，则 B）
📋 真值表（最反直觉的一张）
ABA ⇒ B
真真真 ✓
真假假 ✗
假真真 ？
假假真 ？
只有「A 真而 B 假」这一种情况才是假。
A 一旦为假，整个命题自动为真。
🤯 为什么会这样？
老师说：「如果你考了 100 分，我就给你买游戏机。」
① 你考了 100，老师买了 → 说话算话 ✓
② 你考了 100，老师没买 → 说话不算话 ✗
③ 你没考 100，老师还是买了 → 老师没食言（他只是好人）✓
④ 你没考 100，老师也没买 → 没食言 ✓
承诺只在条件成立时才需要兑现；条件不成立，就不算违背。
📌 也读作：A 是 B 的充分条件；B 是 A 的必要条件。
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STATION 03 · 图解
文氏图秒懂「若 A 则 B」
A 的圆整个被 B 包住
A
B
全集
A ⊆ B：只要你在A 里面，就一定在 B 里面
📐 数学里的例子
若 x 是正方形，则 x 是矩形。
正方形 ⊆ 矩形 —— 一定成立 ✓
⚠️ 反过来不成立
若 x 是矩形，则 x 是正方形。
长方形也是矩形，但不是正方形 ✗
🌧 生活里的例子
若下雨，则地面湿。
地面湿不等于下雨（可能有人洒水）—— 这就是逆命题不一定成立。
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STATION 03 · 进阶
逆命题不一定真，逆否命题一定真
原命题
A ⇒ B
若下雨，则地面湿。
真 ✓
逆命题（把方向调过来）
B ⇒ A
若地面湿，则下雨。
不一定真 ✗（可能有人洒水）
否命题（两边都取反）
¬A ⇒ ¬B
若不下雨，则地面不湿。
不一定真 ✗
逆否命题（调方向 + 取反）
¬B ⇒ ¬A
若地面不湿，则没下雨。
一定真 ✓✓
🔑 黄金法则：原命题 ⟺ 逆否命题，永远同真同假。证明题常用的秘密武器！
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练习 08 · 逆否命题 ⏱ 4 分钟
写出下面两个命题的「逆否命题」
第 1 题
若一个数是偶数，则它能被 2 整除。
逆否命题：若 ____________，则 ____________。
第 2 题
若一个数各位数字之和能被 3 整除，则这个数能被 3 整除。
逆否命题：若 ____________，则 ____________。
第 3 题 · 想一想
「若 x 是正方形，则 x 是矩形」的逆命题是什么？它成立吗？
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练习 08 · 答案
对一对：先取反，再调头
第 1 题
逆否命题：若一个数不能被 2 整除，则它不是偶数。
✅ 与原命题一样，都是真的。
第 2 题
逆否命题：若一个数不能被 3 整除，则它的各位数字之和不能被 3 整除。
✅ 这就是课本上「3 的倍数特征」的另一面。
第 3 题
逆命题：若 x 是矩形，则 x 是正方形。
❌ 不成立 —— 长 4 宽 3 的长方形是矩形，但不是正方形。
🧠 解题口诀：「逆否 = 反过来 + 都取反」，两步一起做，别漏掉任何一步。
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STATION 03 · 大发现
两个命题，正好 16 种运算
🔢 数一数就知道了
两个命题 A、B，一共 4 行真值表：
（真,真）（真,假）（假,真）（假,假）
每一行结果都能选「真」或「假」—— 2 种选择。
2 × 2 × 2 × 2 = 16
把结果写成 0/1，就是一个 4 位二进制数：0000 ~ 1111，正好 16 个！
📋 16 种运算一览（节选）
二进制运算名字
0000false恒假
0001A ∧ B逻辑与
0011A就是 A
0110A ⊕ B异或
0111A ∨ B逻辑或
1001A = B相等
1101A ⇒ B蕴涵
1111true恒真
💡 这意味着什么？
再复杂的两个命题的公式，也逃不出这 16 种。
所以看似复杂的表达式，往往能化简成其中最简单的一种 —— 下一站就来做这件事！
类比：16 种运算就像 16 个颜料格，任何颜色都只能从里面调出来。
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04
STATION 04 / 05
化简神器
德摩根定律 · 对偶性 · 卡诺图 —— 把乱麻理成一条线
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STATION 04 · 神器 ①
德·摩根定律：把「非」推进括号里
定律 ①
¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B)
「不是两个都满足」=「至少有一个不满足」
∧ 变成 ∨
定律 ②
¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)
「两个都不满足」=「两个分别都不」
∨ 变成 ∧
☔ 生活例子
A = 「下雨」　B = 「有体育课」
¬(A ∧ B)
= 不是「又下雨又有体育课」
= 不下雨　或者　没有体育课
验证：只有「下雨 且 有体育课」这一种情况让左边为假；右边也只有这一种情况为假 —— 完全一致 ✓
🎒 班级例子
「不是（带校卡 并且 穿校服）」
= 「没带校卡 或者 没穿校服」→ 不能进校门
🔑 口诀：「非」进括号，与或互换。
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STATION 04 · 神器 ②
对偶性：一次学会两公式
🔄 三个互换动作
把公式里的东西做三组互换：
① true ↔ false
② A ↔ ¬A
③ ∧ ↔ ∨
换完之后，等式依然成立！
这就是对偶性（Duality）—— 学一个送一个。
🧪 现场演示
原式：¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B)
↓ 把 A 换成 ¬A、B 换成 ¬B、∧ 换成 ∨、∨ 换成 ∧
得到：¬(¬A ∨ ¬B) = A ∧ B
↓ 两边同时取反
¬A ∨ ¬B = ¬(A ∧ B)　✓ 又回来了
再试一个：A ∨ ¬A = true　→　对偶：A ∧ ¬A = false　✓
🤔 为什么有用？
记一半的公式就够了。
就像乘法口诀：知道了 3×7，就知道了 7×3。
程序员写复杂判断时，靠对偶性把公式翻过来，马上就变简单。
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练习 09 · 德摩根 ⏱ 4 分钟
把这三句话改写成等价的说法
1
「不是（下雨 并且 有体育课）」= ?
2
「不是（迟到 或者 早退）」= ?
3
「不是（数学及格 并且 英语及格）」= ?
提示：想想什么情况下「两门都及格」这句话是假的
4
判断对错：¬(A ∨ B) 和 (¬A ∨ ¬B) 是一样的吗？
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练习 09 · 答案
揭晓：「非」进门，与或互换
1
不下雨　或者　没有体育课
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
2
没有迟到　并且　没有早退
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B　—— 注意这里变成「并且」了！
3
数学没及格　或者　英语没及格
只要有一门不及格，「两门都及格」就是假的 ✓
4
不一样 ❌
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B（两个都不）；而 ¬A ∨ ¬B = ¬(A ∧ B)（至少一个不）
🔑 易错点：很多同学只记得「把 ¬ 分下去」，忘了 ∧ 要变成 ∨（或反过来）。
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STATION 04 · 实战
二灯游戏：规则表看着好复杂
🎮 游戏规则
街机上有两个开关 A 和 B，控制一盏红灯。红灯亮不亮，遵循下面这张表：
开关 A开关 B红灯
0 关0 关亮 💡
0 关1 开亮 💡
1 开0 关灭
1 开1 开亮 💡
任务：用一个最简短的逻辑表达式说出红灯什么时候亮。
先硬着头皮写一遍
红灯 = (¬A ∧ ¬B)
　　∨ (¬A ∧ B)
　　∨ (A ∧ B)
三种情况「或」起来 ——
又长又难懂 😵
有没有更快的方法？
👇 下一页登场：程序员的化简神器 —— 卡诺图。
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STATION 04 · 神器 ③
卡诺图：把真值表摆成方格，圈一圈就化简
🗺 第一步：摆方格
横轴是 B（0 / 1），纵轴是 A（0 / 1），把红灯的亮灭填进去。
B=0
B=1
A=0
1
1
A=1
0
1
1 = 灯亮，0 = 灯灭。
⭕ 第二步：圈出尽量大的方块
把相邻的 1 圈成 2 格或 4 格的大块：
🟡 第一行的两个 1（A=0 整行）→ 这一行跟 B 无关，就是 ¬A
🟡 右下角单独的 1（A=1 且 B=1）→ A ∧ B
红灯 = ¬A ∨ (A ∧ B)
还能再简：¬A ∨ (A∧B) = (¬A∨A) ∧ (¬A∨B) = ¬A∨B
✅ 化简结果
¬A ∨ B
也就是 A ⇒ B
翻译成人话：「只要 A 关着，灯就亮；A 开着的时候，得看 B。」
从 3 项 → 1 项，这就是卡诺图的力量 💪
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STATION 04 · 升级
三灯游戏：8 格卡诺图，答案更简单
🗺 三个开关 A、B、C 的卡诺图
横轴是 BC（按 00 · 01 · 11 · 10 排列），纵轴是 A。
00
01
11
10
A=0
1
1
1
1
A=1
0
0
1
1
⚠️ 注意横轴顺序是 00→01→11→10，不是 00→01→10→11：相邻两格只能变一个字母。
⭕ 圈两圈
🟡 整行 A=0（4 格）→ ¬A
🟡 右下两格（A=1 且 C=1）→ A ∧ C
绿灯 = ¬A ∨ (A ∧ C) = ¬A ∨ C
🎉 惊喜
¬A ∨ C
开关 B 根本不用看！
8 格表里藏着这么简单的规律，光看表格是看不出来的。
🎯 卡诺图的价值：让「看不见的规律」变成肉眼可见的方块。
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练习 10 · 你来当游戏设计师 ⏱ 6 分钟
设计一条规则，再把它化简
🎮 你的任务
设计一个「过关判定」：两个条件 A = 血量 > 0、B = 有钥匙。
过关规则表如下，请：① 填出过关栏　② 用卡诺图化简
A 血量>0B 有钥匙过关？
00不过
01不过
10过关
11过关
提示：先想清楚「过关」跟 B 有没有关系。
✍️ 写出你的化简过程
答案其实非常短 —— 短到只有一个字母。
💬 答案下一页揭晓，先别翻！
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05
STATION 05 / 05
三值逻辑
真 · 假 · 未定义 —— 当答案不只有两个
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STATION 05 · 新概念
第三个值：undefined（未定义）
❓ 什么时候会「不知道」？
① 还没决定：明天的运动会还没定是否举行
② 算不出来：1 ÷ 0 的结果是什么？
③ 还没填：表格里空白的那一格
④ 无关紧要：答案不影响最终结果
这些既不是真，也不是假。
三值逻辑的三个积木
true
真
false
假
undefined
未定义
就像选择题的第三个选项：「不确定」。
📌 程序世界里，undefined 是真实存在的第三个值，不能假装看不见。
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STATION 05 · 短路求值
&& 和 || 会「偷懒」
A && B（逻辑与）
· A 为 false → 直接得出 false，根本不看 B
· A 为 true → 结果由 B 决定
所以：A=false 时，B 就算未定义，答案也是 false。
A || B（逻辑或）
· A 为 true → 直接得出 true，根本不看 B
· A 为 false → 结果由 B 决定
所以：A=true 时，B 就算未定义，答案也是 true。
📋 三值真值表
ABA ∧ BA ∨ B
truetruetruetrue
truefalsefalsetrue
true未定义未定义true
falsetruefalsetrue
falsefalsefalsefalse
false未定义false未定义
💡 这有什么用？
写代码时可以省掉一次判断：
if (名单里有他 &&
　他的成绩 > 90)
如果「名单里没有他」，后面那句压根不会执行 —— 既快，又不会出错。
这叫短路求值（Short-circuit）。
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STATION 05 · 验证
三值逻辑里，德摩根定律还成立吗？
✅ 依然成立！
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
把「未定义」也代进去逐格检查，每一行都对得上。
这说明德摩根定律非常结实，不是只在两值世界里才对。
📋 抽查几行
AB¬(A∧B)¬A∨¬B
true未定义未定义未定义
false未定义truetrue
未定义未定义未定义未定义
falsefalsetruetrue
左右两列完全相同 ✓
🤔 唯一要注意的
「未定义」的否定，还是未定义。
¬undefined = undefined
不知道的反面，还是不知道 —— 这很合理 😄
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练习 11 · 三值逻辑 ⏱ 4 分钟 · 含答案
「未定义」会传染吗？
① false && 未定义 = ?
A 已经是 false，与运算直接短路 → false
② true || 未定义 = ?
A 已经是 true，或运算直接短路 → true
③ true && 未定义 = ?
得看 B，而 B 不知道 → 未定义
④ 未定义 && false = ?
得看 B，B 是 false → false
🎯 做题心法
先问一句：「左边能不能一锤定音？」
· && 遇到左边的 false → 定音：false
· || 遇到左边的 true → 定音：true
· 定不了音 → 再看右边
「未定义」就像还没拆的盲盒：不看它，就还能下结论；一看它，答案就被它带跑了。
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FINAL STATION
四把钥匙
把这四样东西装进口袋，你就是逻辑小高手
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FINAL · 本章小结
今天带走的四把钥匙
🔑 01
命题与真假
能判断对错的陈述句才叫命题；只有 true / false 两个值。
配套：完整性 + 排他性
🔑 02
五大运算
¬ 非　∧ 与　∨ 或　⊕ 异或　= 相等　⇒ 蕴涵
配套：真值表 + 文氏图
🔑 03
化简工具
德摩根定律（非进括号，与或互换）· 对偶性 · 卡诺图
配套：圈大方块
🔑 04
三值逻辑
真 · 假 · 未定义；&& 与 || 会短路求值
配套：先看左边能不能定音
🧭 最重要的不是公式，而是这个习惯：遇到含糊的说法，先问「边界在哪？会不会漏？会不会重？」
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课后挑战 · 把逻辑带回家
现在轮到你了
三道挑战题，任选一题完成，下次课分享：
① 给家里的一件电器写一条「完整且排他」的使用规则
② 用真值表证明 ¬(A∧B) = (¬A)∨(¬B)
③ 设计一个四灯游戏，画出卡诺图并化简
💡
逻辑小高手
TRUE · FALSE · 不重不漏
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